零倾覆力矩点（ZMP）

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前言

在机器人学中，零倾力矩点（ZMP）是一个特征点，主要用于足式运动。在下文的一些假设中，我们将看到，它非正式地代表了一个系统接触反作用力的结果点。例如，下图中的刚体处于静态平衡，当且仅当其 ZMP 位于质心的垂直位置时。

一、定义

从形式上讲，ZMP 指的是空间中相对于一个平面（通常是地平面）抵消接触力矩的点的集合。这个集合实际上是一个轴，而不是一个点，但为了方便起见，让我们按照传统的推导方法来计算地面平面上的 ZMP。这一推导从任何多刚体系统的牛顿-欧拉运动方程开始：

$m\ddot{\boldsymbol{p}}_G=m\boldsymbol{g}+\boldsymbol{f}^c$

$\dot{L}_O=\overrightarrow{OG}\times m\boldsymbol{g}+\boldsymbol{\tau}_G^c$

其中， $m$ 为机器人的总质量， $\boldsymbol{g}$ 为重力矢量， $G$ 为系统的重心， $\ddot{\boldsymbol{p}}_G$ 为加速度， $\dot{L}_O$ 为固定点 $O$ 的角动量变化率。在右侧， $\boldsymbol{w}_G^c=[\boldsymbol{\tau}_G^c\; \boldsymbol{f}^c])$ 表示净接触扭矩，即施加到机器人上的所有接触扭矩之和，坐标取自质心 (COM) $G$ 。

定义多体系统的重力惯性扭矩，它只取决于加速度：

$\begin{aligned}&\boldsymbol{f}^{gi}\; \overset{{\mathrm{def}}}{\operatorname*{\operatorname*{\operatorname*{=}}}}\; m(\boldsymbol{g}-\ddot{\boldsymbol{p}}_{G})\\&\boldsymbol{\tau}_{O}^{gi}\; \overset{{\mathrm{def}}}{\operatorname*{\operatorname*{\operatorname*{=}}}}\; \overrightarrow{OG}\times m\boldsymbol{g}-\dot{L}_{O}\end{aligned}$

牛顿-欧拉方程可以用螺杆代数的扭矩形式写出： $\boldsymbol{w}^{gi}+\boldsymbol{w}^c=\boldsymbol{0}$ ：ZMP 是属于非中心轴的点 $Z$ ，其定义如下：

$\boldsymbol{\tau}_Z^{gi}\times \boldsymbol{n}=0$

其中 $\boldsymbol{n}$ 表示非倾斜表面（通常指在平地上行走时的地面）的法向量。这个等式的左侧可以根据另一点上的力矩进行改写：

$\begin{aligned} \boldsymbol{\tau}_Z^{gi}\times\boldsymbol{n}& =(\boldsymbol{\tau}_O^{gi}+\overrightarrow{ZO}\times\boldsymbol{f}^{gi})\times\boldsymbol{n} \\ &=\boldsymbol{\tau}_O^{gi}\times\boldsymbol{n}+(\overrightarrow{ZO}\cdot\boldsymbol{n})\boldsymbol{f}^{gi}-(\boldsymbol{f}^{gi}\cdot\boldsymbol{n})\overrightarrow{ZO} \end{aligned}$

通过展开向量三重乘积。我们暂且假设 $O$ 和 $Z$ 位于 $\boldsymbol{n}$ 的法线的同一平面上，因此 $\overrightarrow{ZO}\cdot\boldsymbol{n}=0$ 。然后，将上面的表达式注入 ZMP 的定义中，得到

$\overrightarrow{OZ}=\dfrac{\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{\tau}_O^{gi}}{\boldsymbol{f}^{gi}\cdot\boldsymbol{n}}$

这个公式在实践中用于计算力传感器或惯性测量单元的 ZMP，这些传感器或惯性测量单元通常嵌入在当前的足式机器人中。在某些情况下，ZMP 也可称为零力矩点（zero moment points），例如在足式运动中，当角动量在质量中心保持恒定，因此 $\boldsymbol{\tau}_Z^{gi}=\boldsymbol{\tau}_G^{gi}=\boldsymbol{0}$ 。但是，请记住，如果没有这样的假设，在 ZMP 上的接触力净力矩只能在其三个坐标中的两个坐标上抵消。

二、压力中心

压力中心（COP）是定义在两个接触物体之间的一个动态点。与根据多体系统加速度定义的 ZMP 不同，COP 是根据接触面上的相互作用力定义的局部量。当机器人与环境单接触或在平地上行走时，这两种不同的方法会得出相同的结果（Sardain 和 Bessonnet，2004 年）。

让我们考虑机器人的一只脚接触平面的情况：

环境通过表面对机器人施加的接触力 $\boldsymbol{f}^{c}$ 可分解为两个项的总和：

合压力 $\boldsymbol{f}^p=(\boldsymbol{f}^c\cdot\boldsymbol{n})\boldsymbol{n}$ ，
合摩擦力 $\boldsymbol{f}^f=\boldsymbol{f}^c-\boldsymbol{f}^p$ ，与接触面相切 $(\boldsymbol{f}^f\cdot\boldsymbol{n}=0)$ 。

这两个力是通过接触面 $\text{S}$ 的所有元素 $\text{dS}$ 施加的无穷小力的总和。用 $p(P)$ 表示在任意点 $P\in\mathcal{S}$ 上施加的压力：

$\boldsymbol{f}^p=\int_{P\in\mathcal{S}}p(P)\boldsymbol{n}\mathrm{d}\mathcal{S}$

压力始终是一个正量，因为脚无法穿透地面。因此，始终存在一个压力中心 $C$ ，即压力力矩消失的点，因此可以将 $\boldsymbol{f}^{p}$ 视为 "施加在 $C$ 处"。其坐标如下

$\begin{aligned} \boldsymbol{\tau}_{C}^{p}& =0 \\ \overrightarrow{OC}\times(\boldsymbol{f}^p\cdot\boldsymbol{n})\boldsymbol{n}& =-\boldsymbol{\tau}_O^p \\ \left(\boldsymbol{f}^p\cdot\boldsymbol{n}\right)\boldsymbol{n}\times\overrightarrow{OC}\times\boldsymbol{n}& =-\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{\tau}_O^p \end{aligned}$

由于 $O$ 和 $C$ 两点都属于同一法线 $\boldsymbol{n}$ 平面，因此我们得到

$\overrightarrow{OC}=\dfrac{\boldsymbol{\tau}_{O}^{p}\times\boldsymbol{n}}{\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{f}^{p}}$

同时，摩擦力与接触面相切、因此它们的力矩与 $\boldsymbol{n}$ 一致。因此，上述关系可以等价地写成

$\overrightarrow{OC}=\dfrac{\boldsymbol{\tau}_{O}^{c}\times\boldsymbol{n}}{\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{f}^{c}}$

在这里，我们可以看到与用于定义 ZMP 的公式相同的公式，只不过现在是应用于（局部的）接触扭矩，而不是（全局的）重力惯性扭矩。现在，还记得牛顿-欧拉方程中的 $\boldsymbol{w}^{gi}=-\boldsymbol{w}^c$ 吗？你就知道为什么只有一个接触点时 COP 和 ZMP 会重合了（Sardain et Bessonnet, 2004）。

上图表示 COM $G$ 、COP $C$ 和沿着（非中心）重力惯性轴 $\Delta^{gi}$ 的 ZMP $Z$ 。后者不一定包含 $G$ ，除非系统的角动量守恒（ $\dot{L}_{G}=\boldsymbol{0}$ ）。角动量守恒是上世纪 90 年代和 00 年代大多数双足运动研究的共同假设（Kajita et Tani，1991 年）。

三、支撑区域

只要保持接触，COP 就会位于接触面 $S$ 的内部。事实上，接触力矩可以写成

$\boldsymbol{\tau}_O^c=\int_{P\in\mathcal{S}}\overrightarrow{OP}\times p(P)\boldsymbol{n}\mathrm{d}\mathcal{S}$

这样，上面的 COP 公式就变成了

$\overrightarrow{OC}=\dfrac{\int_{P\in\mathcal{S}}p(P)\overrightarrow{OP}\operatorname{d}\mathcal{S}}{\int_{P\in\mathcal{S}}p(P)\mathrm{d}\mathcal{S}}$

因此，可以将 COP 视为地面接触点的平均值，并根据各自的压力进行加权。当它越过 $S$ 的边界时，接触就会中断，并开始绕 $S$ 区域的相应边缘旋转。为了避免这种结果，足式机器人必须确保其 COP 保持在该区域内，该区域被称为 "支撑区域"。条件 $C\in\mathcal{S}$ 就是非倾斜接触条件。