一、字符串哈希

1. 什么是哈希

        哈希算法是：通过哈希函数将字符串、较大的数等转换为能够用变量表示的或者是直接作为数组下标的数，通过哈希算法转换到的值，称之为哈希值。哈希值可以实现快速查找和匹配。

        比如：用数组下标计数法，统计一个字符串，每种字母出现的次数就是一个简单的哈希，将每个字母都映射为了对应的 A s c i i 码。

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2. 如何构造哈希

        原理：将字符串中的每一个字母都看作是一个数字（例如：从 a - z，视为 1 - 26 ）；将字符串视为一个是 b 进制的数。（注意：不能映射为 0，因为如果a 为 0，那么 a、aa、aaa 的值将都为 0）

        比如：可以将字符串 s = " abcd "视为 26 进制的整数，则可以计算出：hash（s）= 1 * 26 的立方 + 2 * 26 的平方 + 3 * 26 的一次方 + 26 的 0 次方，如果字符串很长，h ( s )很容易超出 long long 范围内。

        选取两个合适的互质常数 b 和 h ( b < h )，其中h要尽可能的大一点，为了降低冲突（不同字符串计算到同一个哈希值）的概率。

        一般来说：b 取 131 或 13331，h 取 ，最终产生的哈希值的冲突的概率极低。

        假设字符串 C=c1c2c3...cm，定义哈希函数：

        

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3. 滚动哈希优化

        如果针对一个很长的字符串，判断其中两个长度为 len 的子串是否相同，如果采用O（ len ）的时间复杂度计算出对应的子串 hash，那和直接取出子串比较的时间复杂度并无差异，因此我们需要使用滚动哈希优化的技巧，可以在O（ 1 ）的时间复杂度下取出子串的 hash 值。

       （1）滚动计算到前缀哈希 h ( k )

          设：h ( k )为字符串的子串的哈希值，（先不考虑取 MOD ）：

            

          类比 10 进制理解该公式，比如 10 进制的 12345，取出前 3 个数123，如果要去前 4 个数，可以使用：123 * 10（进制）+ 4（）= 1234 的方法来取出。

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      （2）利用前缀哈希 H ( k ) 计算区间哈希值。

          设：

          

          

          

          因此，求 L ~ R 之间的哈希值：

          由上述公式可知，只需要预处理出 ，就可以在O(1)的时间内求得任意子串的哈希值。

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       （3）时间复杂度

           综上，如果在一个长度为 n 的字符串中，任意取长度为 m 的子串进行匹配，时间复杂度为O(n+m)。

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二、哈希表

1. 哈希表原理

（1）使用数组下标直接标记元素

        哈希表（也叫散列表）：是一种高效的、通过把关键码值映射到表中的一个位置来访问记录的数据结构。

        类似字符串，查找的时间复杂度是常数时间，缺点是：需要消耗更多的内存。

        现在要存储和使用下面的线性表：。

        为了用O(1) 的时间实现查找，可以开一个一维数组 A[ 1 ... 13491 ]，使得 A[ key ] = key，但显然造成了空间上的很大浪费，尤其是数据范围很大时。

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（2）除余法构造哈希值

        为了使空间开销减少，我们可以使用第二种方法加以优化，设计一个哈希函数 H(key)=key mod 17，然后令 A[ H ( key ) ] = key，这样一来定义一个一维数组 A[0 ... 16]就以足够，这种方法就是哈希表。

        但是这样会造成哈希冲突，比如H（2）和H（19）的值都是 2.

        这里与字符串 Hash 有所不同，可能不论我们怎样选用哈希函数，还是很难避免产生冲突。

        因此我们考虑对每一个哈希值记一个链表（其实也就相当于邻接表），把所有等于同一个哈希值的数字都存储下来，而查询只要遍历对应的链表即可，这样实际复杂度取决于查询的链表长度，也可以看做是常数级。

        例如：我们定义哈希函数H( x ) = x mod 16，对数组进行哈希运算后，插入一些数据的效果如下图：

        

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（3）哈希函数的构造

        取余法构造哈希：H（key）= key % b，为了避免冲突，一般为能够存储下来并且尽量大的素数（一般情况下我们根据空间取 10 ~ 6 左右的素数）。一般地说如果 b 的约数越多，那么冲突的几率也就越大。

2. 使用数组模拟邻接表

（1）插入关键操作：

v = hash(x);//计算 x 的哈希值
idx++;
e[idx]=x;
ne[idx]=h[v];
h[v]=idx;

（2）查找关键操作：

int v = hash(x);//计算 x 的哈希值
//循环链表
for(int i=h[v];i!=0;i=ne[i]){if(e[i]==x){return 1;}
}

例如：读入整数 2 5 6 8 3 11，假设 h[ x ] = x % 6。

则：每个元素的哈希值是 2 5 0 2 3 5。

存储数组如下：

element 数组：按读入的顺序，存储每个元素的值。

  next 数组：next [ i ]存储和element [ i ]哈希值相同的上一个数的编号。

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三、离散化

1. 什么是离散化

        离散化是在不改变数据相对大小的条件下，对数据进行相应的缩小，例如：

        原数据：1，999，100000，15：处理后：1,3,4,2；

        原数据：{100，200}，{20，50000}，{1，400}；

        处理后：{3，4}，{2，6}，{1，5}；

        离散化本质上可以看成是一种特殊的哈希，其保证数据在哈希以后仍然保持原来的全偏序关系，用于解决：影响最终结果的只有元素之间的相对大小关系，这一类的问题。

2. 离散化的步骤

        离散化存在的步骤：

        （1）数组中有重复的元素，因此需要去重复；

        （2）计算出数组中每个值a [ i ]离散化后的值是多少：二分：

离散化数组：

离散化 vector：

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最后

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