2024年中国研究生数学建模竞赛B题 (WLAN组网吞吐量机理建模+GBDT+LSTM 进阶建模文章)

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问题重述和分析

问题重述

本题旨在基于实际测量的WLAN（无线局域网）数据，建立一个精确的系统吞吐量预测模型。具体而言，提供了多个包含网络拓扑、业务流量、节点间RSSI、信道接入机制等基本信息的测试集，以及部分统计信息，如AP（接入点）的发送时长、选用的调制编码方案（MCS）、空间流数（NSS）、丢包率（PER）、吞吐量等。

需要解决的问题包括：

1. 分析各参数对AP发送机会（发送数据帧序列的总时长）的影响，并预测AP的发送机会。
2. 建立模型，预测AP发送数据时选用最多次数的（MCS, NSS）。
3. 建立模型，预测系统的总吞吐量。
4. 对模型的精度进行评估，绘制预测误差的累积分布函数（CDF），并计算模型的精度。

整体问题分析

赛题的核心是建立一个能够准确预测WLAN系统吞吐量的模型。在高密度部署场景下，节点密集度增加，导致干扰和碰撞加剧，实际带宽和数据传输速率下降。因此，需要准确地预测吞吐量，以优化WLAN系统性能。

主要挑战：

• 多因素耦合：节点间的RSSI、CCA门限、NAV机制、业务流量等因素相互影响，导致AP的发送机会和PHY层参数的选择具有复杂性。
• 数据复杂性：提供的数据集包含大量的参数，需要从中提取关键特征，并进行合理的简化和假设。
• 建模精度要求高：需要在模型中充分考虑各种影响因素，以满足赛题对预测精度的要求。

数据说明分析

赛题提供的数据集主要分为两部分：

1. 测试基本信息：包括网络拓扑、业务流量、门限、节点间RSSI等。这些信息作为模型的输入参数，需要分析其对AP发送机会和PHY层参数的影响。

2. 数据帧统计信息：包括AP发送数据的时长、选用的（MCS, NSS）、丢包率（PER）、吞吐量等。这些信息作为模型的输出参数，或者用于模型验证。

需要特别注意的是：

• RSSI的多种形式：不同的RSSI用于不同的判决，如最大值用于CCA门限判决，平均值用于NAV门限判决，所有天线RSSI的和用于解码信号。

• 业务流量类型：UDP和TCP流量的特性不同，影响AP的发送行为，需要在模型中区分处理。

附录资料深入分析

1. 随机回退和二进制指数退避算法

AP在信道竞争中采用二进制指数退避算法来决定发送时机。
竞争窗口（CW）在每次传输失败后翻倍，传输成功后重置为CWmin。
退避计数器（BO）在$$0,CW-1$$范围内随机选取，决定了回退的时隙数。

2. 数据帧序列和RTS-CTS机制

采用RTS-CTS机制可以减少碰撞，提高信道利用率。
一个完整的帧序列包括：RTS、CTS、数据帧、ACK，以及相应的帧间隔（DIFS、SIFS）。

3. 聚合机制

采用AMSDU和AMPDU聚合，可以提高小包传输的效率。
聚合的PPDU时长不超过4.5ms，聚合的MSDU和MPDU个数有限制。

4. 业务流量类型

UDP流量：单向数据流，报文大小为1500 Bytes，发送间隔服从泊松分布。
TCP流量：双向数据流，需要考虑上行的TCP ACK。

问题建模与求解

问题一：AP发送机会的分析与预测

目标：根据实测数据，分析各参数对AP发送机会（seq_time）的影响，并预测AP的发送机会。

分析各参数对AP发送机会的影响

1. 节点间RSSI

影响：AP之间的RSSI决定了它们是否能“听”到彼此，以及干扰的程度。
情况分析：
RSSI > ED门限（-62dBm）：AP能够检测到对方的传输，避免同时发送，导致发送机会减少。
NAV门限 < RSSI ≤ PD门限（-82dBm）：AP可能错过对方的Preamble，导致异步传输，增加发送机会，但也可能增加碰撞概率。
RSSI ≤ NAV门限：AP无法感知对方的存在，可能导致更多的信道占用。

2. CCA门限

影响：CCA门限决定了AP对信道忙闲的判断。
判决规则：
包检测（PD）门限：用于检测Wi-Fi报文的Preamble。
能量检测（ED）门限：用于检测非Wi-Fi报文。
判决条件：
$${\text{RSSI}}_{\text{max}}\ge \text{PD}⟹\text{信道繁忙}$$

$$\text{PD}>{\text{RSSI}}_{\text{max}}\ge \text{ED}⟹\text{信道繁忙}$$

$${\text{RSSI}}_{\text{max}}<\text{ED}⟹\text{信道空闲}$$

3. NAV机制

影响：NAV门限决定了AP是否会进入静默期。
情况分析：
RSSI ≥ NAV门限：AP接收到相邻AP的帧，更新NAV，进入静默期，发送机会减少。
RSSI < NAV门限：AP无法更新NAV，不进入静默期，可能导致信道竞争加剧。

4. 业务流量

影响：业务流量的类型（UDP/TCP）、数据包大小、发送间隔等影响AP的发送需求。
分析：
UDP流量：发送间隔服从泊松分布，发送需求较稳定。
TCP流量：由于需要接收TCP ACK，发送需求可能受到网络状况影响。

影响性强弱排序

1. 节点间RSSI
2. CCA门限
3. NAV机制
4. 业务流量参数

建模方法

1. 数据预处理

输入特征提取：
节点间RSSI：${\text{RSSI}}_{{\text{AP}}_i-{\text{AP}}_j}$
CCA门限：PD、ED值
NAV门限：NAV值
业务流量参数：协议类型、数据包长度（pkt_len）

2. 统计分析

相关性分析：
计算各输入特征与seq_time的皮尔逊相关系数。
识别主要影响因素。

可视化：
绘制散点图，观察特征与seq_time之间的关系。
可能发现线性或非线性的关系。

3. 数学建模

多元回归模型：
建立回归模型，将seq_time作为因变量，输入特征作为自变量。
回归模型形式：
$${\text{seq\_time}}_i={\beta }_0+{\beta }_1\cdot {\text{RSSI}}_i+{\beta }_2\cdot {\text{CCA}}_i+{\beta }_3\cdot {\text{NAV}}_i+{\beta }_4\cdot {\text{Traffic}}_i+{\epsilon }_i$$
其中，$${\beta }_0,{\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3,{\beta }_4$$为回归系数，$${\epsilon }_i$$为误差项。

非线性模型：
如果发现特征与seq_time之间的关系非线性，可以考虑多项式回归或对数变换。

4. 机器学习模型

模型选择：
决策树、随机森林、支持向量机（SVM）、人工神经网络（ANN）等。

优点：
能够捕捉复杂的非线性关系。
对于高维特征具有较好的处理能力。

5. 模型训练与验证

训练集与验证集划分：
使用交叉验证或留出法，评估模型的泛化能力。

模型评估指标：
均方误差（MSE）、平均绝对误差（MAE）、决定系数（$$R^2$$）等。

6. 预测测试集

使用训练好的模型，对test_set_1_2ap和test_set_1_3ap进行预测，得到每个AP的seq_time。

数学公式与推导

1. 发送概率模型

假设：
AP采用CSMA/CA机制，发送概率与竞争窗口有关。

发送概率：
$${\tau }_i=\frac{2}{W_i+1}$$
其中，$$W_i$$为AP_i的竞争窗口大小。

2. 碰撞概率

AP_i的碰撞概率：
$$P_{\text{collision},i}=1-\prod _{j\ne i}(1-{\tau }_j)$$

3. 成功发送概率

AP_i的成功发送概率：
$$P_{\text{success},i}={\tau }_i\prod _{j\ne i}(1-{\tau }_j)$$

4. 平均发送时长

AP_i的平均发送时长：
$${\text{seq\_time}}_i=\text{test\_dur}\times P_{\text{success},i}\times T_{\text{tx}}$$
其中，$T_{\text{tx}}$为一次成功发送的时长。

代码和可视化结果如下

# 导入必要的库
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from sklearn.ensemble import GradientBoostingRegressor
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.impute import SimpleImputer
from sklearn.preprocessing import LabelEncoder
from sklearn.model_selection import train_test_split# 设置中文字体
from matplotlib import rcParamsrcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
rcParams['axes.unicode_minus'] = False# 读取数据
training_data_path = 'training_set_2ap_loc0_nav82.csv'
test_data_path = 'test_set_1_2ap.csv'# 加载数据集
df_train = pd.read_csv(training_data_path)
df_test = pd.read_csv(test_data_path)# 打印训练数据和测试数据的前几行，了解数据结构
print("训练数据前几行：")
print(df_train.head())
print("测试数据前几行：")
print(df_test.head())# 数据分析
print("训练数据的描述性统计：")
print(df_train.describe())# 缺失值分析
print("训练数据的缺失值统计：")
print(df_train.isnull().sum())# 将数据分为数值列和非数值列# 全文详见底部名片加群获取~# 将数值列和分类列合并
df_train_imputed = pd.concat([df_train_numeric_imputed, df_train_categorical_imputed], axis=1)# 对分类列进行编码（Label Encoding）
label_encoders = {}
for col in categorical_cols:le = LabelEncoder()df_train_imputed[col] = le.fit_transform(df_train_imputed[col])label_encoders[col] = le# 假设目标列是 'throughput'，如果实际目标列不同，请根据实际情况修改
if 'throughput' in df_train.columns:X = df_train_imputed.drop(columns=['throughput'])  # 特征y = df_train_imputed['throughput']  # 目标
else:raise KeyError("训练数据中没有找到目标列 'throughput'，请检查列名或修改代码中的目标列名称")# 划分训练集和验证集
X_train, X_valid, y_train, y_valid = train_test_split(X, y, test_size=0.8, random_state=42)# 创建GBDT模型
gbdt = GradientBoostingRegressor(n_estimators=100, learning_rate=0.1, max_depth=3, random_state=42)# 训练模型
gbdt.fit(X_train, y_train)# 训练集和验证集上的预测
y_train_pred = gbdt.predict(X_train)
y_valid_pred = gbdt.predict(X_valid)# 计算RMSE
train_rmse = np.sqrt(mean_squared_error(y_train, y_train_pred))
valid_rmse = np.sqrt(mean_squared_error(y_valid, y_valid_pred))print(f"训练集上的RMSE: {train_rmse}")
print(f"验证集上的RMSE: {valid_rmse}")# 对测试数据进行同样的预处理
df_test_numeric_imputed = pd.DataFrame(imputer_numeric.transform(df_test[numeric_cols]), columns=numeric_cols)
df_test_categorical_imputed = pd.DataFrame(imputer_categorical.transform(df_test[categorical_cols]), columns=categorical_cols)# 将数值列和分类列合并
df_test_imputed = pd.concat([df_test_numeric_imputed, df_test_categorical_imputed], axis=1)# 对测试数据的分类列进行编码（与训练数据一致），并处理新的标签
for col in categorical_cols:if col in label_encoders:le = label_encoders[col]# 处理未见过的标签，将新标签映射为一个特殊的未知标签编码df_test_imputed[col] = df_test_imputed[col].apply(lambda x: le.transform([x])[0] if x in le.classes_ else -1)# 在测试集中寻找目标列并进行预测
if 'throughput' in df_test.columns:X_test = df_test_imputed.drop(columns=['throughput'], errors='ignore')
else:X_test = df_test_imputed  # 如果测试集没有目标列 'throughput'# 进行预测
test_predictions = gbdt.predict(X_test)# 将预测结果保存到文件中
df_test['throughput_predictions'] = test_predictions
output_path = 'test_predictions.csv'
df_test.to_csv(output_path, index=False)print(f"预测完成，结果已保存到 {output_path} 文件中。")# 可视化：预测值 vs 真实值，特征重要性和热力图
plt.figure(figsize=(16, 12))# 子图1：训练集预测值 vs 真实值
plt.subplot(2, 2, 1)
plt.scatter(y_train, y_train_pred, alpha=0.5, color='b')
plt.title("训练集: 预测值 vs 真实值")
plt.xlabel("真实值")
plt.ylabel("预测值")
plt.grid(True)# 子图2：验证集预测值 vs 真实值
plt.subplot(2, 2, 2)
plt.scatter(y_valid, y_valid_pred, alpha=0.5, color='g')
plt.title("验证集: 预测值 vs 真实值")
plt.xlabel("真实值")
plt.ylabel("预测值")
plt.grid(True)# 子图3：特征重要性
plt.subplot(2, 2, 3)
importances = gbdt.feature_importances_
indices = np.argsort(importances)[::-1]
plt.barh(range(X_train.shape[1]), importances[indices], align='center')
plt.yticks(range(X_train.shape[1]), [X_train.columns[i] for i in indices])
plt.title("特征重要性")
plt.xlabel("重要性得分")# 子图4：相关性热力图
plt.subplot(2, 2, 4)
corr_matrix = df_train_imputed.corr()
sns.heatmap(corr_matrix, cmap='coolwarm', annot=False)
plt.title("特征相关性热力图")# 显示图表
plt.tight_layout()
plt.show()

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问题二：AP的（MCS, NSS）选择预测

目标：预测AP发送数据时选用最多次数的（MCS, NSS）。

分析影响因素

1. 信号与干扰

信号功率：AP到STA的RSSI，记为$P_{\text{signal}}$。
干扰功率：其他AP到STA的RSSI，记为$P_{\text{interference}}$。

2. SINR计算

公式：
省略部分内容
其中，$P_{\text{noise}}$为噪声功率。

3. 传输方式的影响

同步传输：干扰较小，SINR较高。
异步传输：干扰较大，SINR降低。

4. PER与SINR的关系

PER模型：
$$\text{PER}=e^{-\alpha (\text{SINR}-\beta )}$$
其中，$\alpha$、$\beta$为拟合参数。

建模方法

1. SINR计算

信号功率：
$$P_{\text{signal}}=\text{sta\_from\_ap\_x\_sum\_ant\_rssi}$$

干扰功率：
$$P_{\text{interference}}=\sum _{j\ne i}\text{sta\_from\_ap\_j\_sum\_ant\_rssi}$$

噪声功率：可设定为常数，例如，$P_{\text{noise}}=-90\text{dBm}$。

2. （MCS, NSS）映射

建立映射表：
根据标准或实测数据，确定SINR与（MCS, NSS）的对应关系。

示例：
$$\{\begin{array}{l}\text{SINR}\ge {\gamma }_1⟹(\text{MCS},\text{NSS})=({\text{MCS}}_{\text{max}},{\text{NSS}}_{\text{max}})\\ {\gamma }_2\le \text{SINR}<{\gamma }_1⟹(\text{MCS},\text{NSS})=({\text{MCS}}_{\text{mid}},{\text{NSS}}_{\text{mid}})\\ \text{省略部分内容}<{\gamma }_2⟹\text{MCS}......\end{array}$$

3. 分类模型

使用机器学习算法：
多分类模型，如决策树、随机森林、支持向量机（SVM）、神经网络等。

特征：
SINR、信号功率、干扰功率、传输方式（同步/异步）、PER等。

目标变量：
（MCS, NSS）组合。

4. 模型训练

数据集：
使用训练集中的数据，提取特征和目标变量。

模型评估：
准确率、召回率、F1-score等。

5. 预测测试集

对于test_set_2_2ap和test_set_2_3ap，计算SINR，输入模型，预测（MCS, NSS）。

问题二部分可视化展示

问题三：系统吞吐量的建模与预测

目标：预测网络的总吞吐量。

步骤

1. 获取发送时长（seq_time）

使用问题一的预测结果。

2. 确定PHY速率（PHY Rate）

使用问题二的（MCS, NSS）预测结果，查表获取PHY Rate。

PHY Rate查表：
例如，对于20MHz带宽，MCS和NSS的组合对应的PHY Rate。

3. 计算有效传输时间

公式：
省略部分内容

4. 计算成功传输的比特数

公式：
省略部分内容

5. 考虑聚合机制

PPDU有效载荷计算：
$$\text{PPDU有效载荷}=\text{num\_ppdu}\times \text{pkt\_len}\times 8\text{bits}$$

吞吐量计算修正：
省略部分内容

6. 计算每个AP的吞吐量

公式：
$${\text{Throughput}}_i=\frac{{\text{成功传输的比特数}}_i}{\text{test\_dur}}$$

7. 系统总吞吐量

公式：
省略部分内容

模型优化

• PER模型的精细化：

  • 根据SINR与PER的关系，建立更精确的模型。
  • 可能采用分段函数或插值方法。

• 协议开销的考虑：

  • 考虑RTS、CTS、ACK等帧的开销。
  • 修正有效传输时间。

• 调整因子：

  • 根据实测数据，加入调整因子，提高模型精度。

问题三部分可视化展示

目标：评估模型的精度，绘制预测误差的CDF曲线。

步骤

1. 计算预测误差（error）

公式：
$${\text{error}}_i=\frac{{\text{预测吞吐量}}_i-{\text{实测吞吐量}}_i}{{\text{实测吞吐量}}_i}\times 100\%$$

2. 绘制CDF曲线

步骤：
将所有error按从小到大排序，形成序列 { error ( 1 ) , error ( 2 ) , … , error ( N ) } \{\text{error}_{(1)}, \text{error}_{(2)}, \ldots, \text{error}_{(N)}\} {error(1)​,error(2)​,…,error(N)​}。
计算累积分布函数（CDF）：
省略部分内容

绘制图形：
横轴为error，纵轴为CDF。

3. 模型精度评估

定义模型精度：
找到使CDF达到90%的error值，记为$${\text{ERROR}}_{90}$$。
模型精度为：
省略部分内容

解释：
当90%的预测误差小于$${\text{ERROR}}_{90}$$时，模型精度越高，$${\text{ERROR}}_{90}$$越小。

4. 分别评估

每个AP的吞吐量预测精度：
对每个AP的error单独计算CDF，得到AP级别的模型精度。

系统吞吐量的预测精度：
对所有AP的总吞吐量计算error和CDF，得到系统级别的模型精度。

附录：关键公式与参数

1. SINR计算公式

   $$\text{SINR}=\frac{P_{\text{signal}}}{P_{\text{interference}}+P_{\text{noise}}}$$

2. PER模型

   $$\text{PER}=e^{-\alpha (\text{SINR}-\beta )}$$

3. PHY Rate查表

20MHz带宽时，选用不同（MCS, NSS）组合的PHY Rate（单位：Mbps）：

MCS	NSS=1	NSS=2
0	8.6	17.2
1	17.2	34.4
2	25.8	51.6
3	34.4	68.8
4	51.6	103.2
5	68.8	137.6
6	77.4	154.9
7	86.0	172.1
8	103.2	206.5
9	114.7	229.4
10	129.0	258.1
11	143.4	286.8

4. 帧序列时长

RTS-CTS模式下的帧序列总时长：
$$T_{\text{tx}}=T_{\text{RTS}}+\text{SIFS}+T_{\text{CTS}}+\text{SIFS}+T_{\text{data}}+\text{SIFS}+T_{\text{ACK}}$$

各部分时长：
省略部分内容
省略部分内容

1. 竞争窗口

二进制指数退避算法：
省略部分内容
其中，$k$为重传次数。

2. 发送概率

省略部分内容

总结

通过对WLAN系统的深入分析，建立了从输入参数到AP发送机会、PHY层参数、最终系统吞吐量的完整预测模型。利用数学公式和机器学习方法，详细阐述了每个问题的解题思路和步骤。模型充分考虑了节点间RSSI、CCA门限、NAV机制、业务流量类型、SINR、（MCS, NSS）、PER、聚合机制等多种因素，对提高模型的准确性和鲁棒性至关重要。最后，通过CDF曲线评估了模型的精度，为模型的优化和改进提供了参考。

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