$|\cdot |,\Vert \cdot \Vert ,\Vert \cdot {\Vert }_{\ast }$, and $\Vert \cdot {\Vert }_2$ denote the absolute value of a complex scalar,the Euclidean norm of a vector, the nuclear norm of a matrix, and the spectral norm of a matrix.

1. 欧几里得范数 $\Vert \cdot \Vert$：
   欧几里得范数，也称为 2-范数，是用于向量的度量。对于向量 $\mathbf{v}=[v_1,v_2,\dots ,v_n{]}^{\top }$，它表示向量的长度或大小，定义为所有元素平方和的平方根：

   欧几里得范数 $\Vert \cdot \Vert$ 是用于向量的 2-范数。对于向量 $\mathbf{v}=[v_1,v_2,\dots ,v_n{]}^{\top }$，定义为：
   $$\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{\sum _{i=1}^n|v_i{|}^2}$$
   它表示向量在空间中的长度或大小。

2. 核范数 $\Vert \cdot {\Vert }_{\ast }$：
   核范数是矩阵奇异值的和，也被称为“迹范数”。对于矩阵 $\mathbf{A}$，核范数通过将矩阵的奇异值相加得到，常用于低秩矩阵逼近问题：

   核范数 $\Vert \cdot {\Vert }_{\ast }$ 是矩阵奇异值的和，常用于低秩矩阵问题。对于矩阵 $\mathbf{A}$，定义为：
   $$\Vert \mathbf{A}{\Vert }_{\ast }=\sum _i{\sigma }_i$$
   其中 ${\sigma }_i$ 是矩阵 $\mathbf{A}$ 的奇异值。

3. 谱范数 $\Vert \cdot {\Vert }_2$：
   谱范数，也称为矩阵的 2-范数，是矩阵的最大奇异值。它描述了矩阵作为线性变换时对向量的最大伸缩程度：

   谱范数 $\Vert \cdot {\Vert }_2$ 是矩阵的最大奇异值。对于矩阵 $\mathbf{A}$，定义为：
   $$\Vert \mathbf{A}{\Vert }_2=\underset{i}{\max }{\sigma }_i$$
   其中 ${\sigma }_i$ 是矩阵 $\mathbf{A}$ 的奇异值。